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Typ-II-Von-Neumann-Algebren sind spezielle in der mathematischen Theorie der Von-Neumann-Algebren betrachtete Algebren. Es handelt sich um den zweiten von drei Typen der Typklassifikation von Von-Neumann-Algebren. Diese lassen sich weiter in endliche, sogenannte Typ-II1-Algebren und unendliche, sogenannte Typ-II∞-Algebren unterteilen, wobei letztere im σ-endlichen Fall aus ersteren konstruiert werden können.

• Definitionen

• Beispiele

• Struktur

• Siehe auch

• Einzelnachweise

Eine Projektion in einer Von-Neumann-Algebra A {\displaystyle A} ist ein selbstadjungiertes idempotentes Element e {\displaystyle e} , das heißt, es gilt e = e ∗ ∗ = e 2 {\displaystyle e=e^{*}=e^{2}} . Eine solche Projektion heißt abelsch, falls e A e {\displaystyle eAe} eine abelsche Von-Neumann-Algebra ist, sie heißt endlich, falls aus e = v ∗ ∗ v {\displaystyle e=v^{*}v} und v v ∗ ∗ ≤ ≤ e {\displaystyle vv^{*}\leq e} stets v v ∗ ∗ = e {\displaystyle vv^{*}=e} folgt. Eine Von-Neumann-Algebra heißt vom Typ II, falls sie außer 0 keine abelschen Projektionen enthält, aber jede von 0 verschiedene Projektion aus dem Zentrum von A {\displaystyle A} eine von 0 verschiedene endliche Projektion umfasst. Sie heißt vom Typ II1, falls das Einselement als Projektion endlich ist, sie heißt vom Typ II∞, falls keine von 0 verschiedene Projektion aus dem Zentrum endlich ist.cite-ref-1[1]

• Es sei G {\displaystyle G} eine diskrete Gruppe. Jedes Element g ∈ ∈ G {\displaystyle g\in G} operiert als Linksoperator l g {\displaystyle l_{g}} und als Rechtsoperator r g {\displaystyle r_{g}} auf dem Hilbertraum ℓ ℓ 2 ( G ) {\displaystyle \ell ^{2}(G)} in dem man ( l g ( x ) ) ( h ) := x ( g − − 1 h ) {\displaystyle (l_{g}(x))(h):=x(g^{-1}h)} und ( r g ( x ) ) ( h ) := x ( h g − − 1 ) {\displaystyle (r_{g}(x))(h):=x(hg^{-1})} definiert. Es seien L G {\displaystyle L_{G}} und R G {\displaystyle R_{G}} die von { l g ; g ∈ ∈ G } {\displaystyle \{l_{g};\,g\in G\}} bzw. { r g ; g ∈ ∈ G } {\displaystyle \{r_{g};\,g\in G\}} erzeugten Von-Neumann-Algebren. Dann sind L G {\displaystyle L_{G}} und R G {\displaystyle R_{G}} endlich und gegenseitige Kommutanten.

Ist G {\displaystyle G} eine ICC-Gruppe, das heißt, nur das neutrale Element liegt in einer endlichen Konjugationsklasse, so handelt es sich um Typ-II1-Algebren, sogar um sogenannte Faktoren, das heißt, das Zentrum der Algebren besteht nur aus den Vielfachen des Einselementes.cite-ref-2[2]

• Ist A {\displaystyle A} eine Typ-II1-Algebra, so ist das Tensorprodukt L ( ℓ ℓ 2 ) ⊗ ⊗ ¯ ¯ A {\displaystyle L(\ell ^{2}){\overline {\otimes }}A} eine Typ-II∞-Algebra.

• Im Artikel zu den W*-dynamischen Systemen ist eine Konstruktion beschrieben, die zu Typ-II-Von-Neumann-Algebren führt.

Zu jeder Typ-II-Von-Neumann-Algebra A {\displaystyle A} gibt es eine Projektion p {\displaystyle p} aus dem Zentrum von A {\displaystyle A} , so dass

• A = p A ⊕ ⊕ ( 1 − − p ) A = p A p ⊕ ⊕ ( 1 − − p ) A ( 1 − − p ) {\displaystyle A=pA\oplus (1-p)A=pAp\oplus (1-p)A(1-p)}

• p A {\displaystyle pA} ist eine Typ-II1-Algebra.

• ( 1 − − p ) A {\displaystyle (1-p)A} ist eine Typ-II∞-Algebra.cite-ref-3[3]

Zu jeder σ-endlichen Typ-II∞-Algebra A {\displaystyle A} gibt es eine Typ-II1-Algebra B {\displaystyle B} mit A ≅ ≅ L ( ℓ ℓ 2 ) ⊗ ⊗ ¯ ¯ B {\displaystyle A\cong L(\ell ^{2}){\overline {\otimes }}B} .cite-ref-4[4]

Tensorprodukte von Typ-II-Algebren sind wieder Typ-II-Algebren. Sind die Algebren vom Typ II1 oder Typ II∞, so ist das Tensorprodukt nur dann vom Typ II1, wenn beide Faktoren es sind, anderenfalls vom Typ II∞.cite-ref-5[5]

• Typ-I-Von-Neumann-Algebra

• Typ-III-Von-Neumann-Algebra

cite-note-11. ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Definitionen 6.3.1 und 6.5.1

cite-note-22. ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, 6.7.2 – 6.7.5

cite-note-33. ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 6.5.2

cite-note-44. ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 6.7.10

cite-note-55. ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Tabelle 11.1